F = xy + $\overline{x}$z + yz  হলে  $\overline{F}$ = কত?

প্রদত্ত বুলিয়ান ফাংশনটি হলো:

\(F = xy + \bar{x}z + yz\)

এই ফাংশনটিকে প্রথমে সরলীকরণ করা যাক। বুলিয়ান বীজগণিতের কনসেনসাস উপপাদ্য (Consensus Theorem) অনুযায়ী, \(AB + \bar{A}C + BC = AB + \bar{A}C\)।

এখানে, \(A = x\), \(B = y\), \(C = z\)। তাহলে \(BC = yz\) পদটি অপ্রয়োজনীয় (redundant)।

অতএব, \(F = xy + \bar{x}z\)

এখন, \(\bar{F}\) নির্ণয় করতে হবে। এর জন্য আমরা ডিমর্গানের উপপাদ্য (De Morgan's Theorem) ব্যবহার করব।

ডিমর্গানের উপপাদ্য অনুসারে, \(\overline{A+B} = \bar{A}\bar{B}\) এবং \(\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}\)।

\(\bar{F} = \overline{(xy + \bar{x}z)}\)

\(\bar{F} = \overline{(xy)} \cdot \overline{(\bar{x}z)}\) (ডিমর্গানের উপপাদ্য প্রয়োগ করে)

\(\bar{F} = (\bar{x} + \bar{y}) \cdot (\overline{\bar{x}} + \bar{z})\) (ডিমর্গানের উপপাদ্য প্রয়োগ করে)

\(\bar{F} = (\bar{x} + \bar{y}) \cdot (x + \bar{z})\) (কারণ \(\overline{\bar{x}} = x\))

এখন, প্রাপ্ত রাশিটিকে গুণ করে সরলীকরণ করা যাক:

\(\bar{F} = \bar{x} \cdot x + \bar{x} \cdot \bar{z} + \bar{y} \cdot x + \bar{y} \cdot \bar{z}\)

যেহেতু, \(\bar{x} \cdot x = 0\) (কমপ্লিমেন্টারি উপপাদ্য অনুসারে)

\(\bar{F} = 0 + \bar{x}\bar{z} + x\bar{y} + \bar{y}\bar{z}\)

\(\bar{F} = x\bar{y} + \bar{x}\bar{z} + \bar{y}\bar{z}\)

এই রাশিটিতে আবার কনসেনসাস উপপাদ্য প্রয়োগ করা যেতে পারে। এখানে \(A=x\), \(B=\bar{y}\) এবং \(C=\bar{z}\) ধরলে, রাশিটি \(AB + \bar{A}C + BC\) আকারের হয়। কনসেনসাস উপপাদ্য অনুযায়ী, এই ধরনের রাশিতে \(BC\) পদটি অপ্রয়োজনীয়।

সুতরাং, \(x\bar{y} + \bar{x}\bar{z} + \bar{y}\bar{z}\) সরলীকরণ হয়ে দাঁড়ায় \(x\bar{y} + \bar{x}\bar{z}\)।

অতএব, \(\bar{F} = x\bar{y} + \bar{x}\bar{z}\)

প্রদত্ত অপশনগুলো পরীক্ষা করে দেখা যাক:

    
• অপশন ১: \(xy + yz\)
    
• অপশন ২: \(x\bar{y} + \bar{y}\bar{z}\)
    
• অপশন ৩: \(\bar{x}\bar{y} + \bar{y}\bar{z}\)
    
• অপশন ৪: \(\bar{x}y + \bar{y}z\)

গণনা অনুযায়ী প্রাপ্ত \(\bar{F} = x\bar{y} + \bar{x}\bar{z}\) এর সাথে প্রদত্ত কোনো অপশনই মিলছে না।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।